Cargos e empregos públicos são formas de investidura na administração direta, autarquias e fundações (cargos - regime estatutário) ou empresas públicas/sociedades de economia mista (empregos - regime CLT). Criados por lei, os cargos efetivos exigem concurso público, enquanto empregos públicos seguem a CLT.
1. Cargo Público: É a unidade mais clássica. Criado por lei, com denominação própria e pago pelos cofres públicos.
Vínculo: Estatutário (regido por um Estatuto, ex: Lei 8.112/90).
Provimento: Efetivo (via concurso) ou em Comissão (livre nomeação e exoneração).
Justiça: Julgado na Justiça Comum (Federal ou Estadual).
2. Emprego Público: Aqui o regime é o mesmo da iniciativa privada, mas o patrão é o Estado.
Vínculo: Celetista (regido pela CLT).
Provimento: Concurso público (não existe "emprego em comissão").
Onde estão: Predominantes na Administração Indireta (Empresas Públicas e Sociedades de Economia Mista, como Banco do Brasil ou Petrobras).
3. Diferenças Cruciais:
Estabilidade: Apenas ocupantes de cargos efetivos adquirem a estabilidade do Art. 41 da CF após 3 anos. Empregados públicos podem ser demitidos, mas a jurisprudência exige motivação (não é "no susto").
Acumulação: A regra é a proibição para ambos, salvo as exceções constitucionais (dois de professor, um de professor + técnico/científico, ou dois profissionais de saúde).
Para aprofundar nos detalhes da legislação, você pode consultar o texto atualizado da Constituição Federal no site do Planalto (Artigos 37 a 41).

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